引言
纖維纏繞成型是樹脂基復合材料的主要制造工藝之一，是在控制張力和預定線型的條件下，將連續的纖維粗紗或布帶浸漬樹脂膠液、連續地纏繞在相應于制品內腔尺寸的芯?；騼纫r上，然后在室溫或加熱條件下使之固化制成一定形狀制品的方法。
纖維纏繞技術的發展與增強材料、樹脂體系的發展和工藝發明息息相關，盡管在漢代就有在長木桿外加縱向竹絲及環向蠶絲后浸漬大漆制造戈、戟等長兵器桿的工藝，但直到20世紀50年代纖維纏繞工藝才真正成為一種復合材料制造技術。1945年首次應用纖維纏繞技術成功制造了無彈簧的車輪懸掛裝置，1947年第一臺纖維纏繞機被發明。隨著碳纖維、芳綸纖維等高性能纖維的開發和微機控制纏繞機的出現，纖維纏繞工藝作為一種機械化生產程度很高的復合材料制造技術，得到迅速的發展，20世紀60年代開始在幾乎所有可能的領域都得到了應用。
第一節 概述
一、纏繞成型工藝的特點與分類
1．纏繞成型工藝的特點
纏繞成型工藝作為一種常用的復合材料成型方法，其特點包括：
（1）易于實現高比強度制品的成型。與其他成型工藝方法比較，以纏繞工藝成型的復合材料制品中纖維伸直和按規定方向排列的整齊和精確度較高，制品能充分發揮纖維的強度，因此比強度和比剛度均較高，如普通玻璃纖維增強復合材料的比強度即三倍于鋼、四倍于鈦。
（2）易于實現制品的等強度設計。由于纏繞時可以按照承力要求確定纖維排布的方向、層次和數量，因此易于實現等強度設計，制品結構合理。
（3）制造成本低，制品質量高度可重復。纏繞制品所用增強材料大多是連續纖維、無捻粗紗和無緯帶等材料，無須紡織，從而減少了工序，降低了成本，同時也避免了布紋交織點與短切纖維末端的應力集中。纖維纏繞工藝容易實現機械化和自動化，產品質量高而穩定，生產率高，便于大批量生產。
（4）適于耐腐蝕管道、儲罐和高壓管道及容器的制造，這是其它工藝方法所不及的。
雖然目前纏繞成型工藝是各種復合材料成型工藝中機械化、自動化程度較高的一種，能制造出性能優良的制品，但是它也存在如下局限性：
（1）在濕法纏繞過程中易形成氣泡，造成制品內孔隙過多，從而降低層間剪切強度、壓縮強度和抗失穩能力。因此，要求在生產過程中盡量采用活性較強的稀釋劑，控制膠液粘度，改善纖維的浸潤性及適當增大纖維張力等措施，以便減少氣泡和孔隙率。
（2）纏繞復合材料制品的開孔周圍應力集中程度高，層間剪切強度低。為了連接配件而開口進行的切割、鉆孔或開槽等都會降低纏繞結構的強度。因此要求結構設計合理，制品完全固化后盡量避免切割、鉆孔等破壞性的加工。對于確需開孔、開槽的復合材料制品需要采用局部補強措施。
（3）對成型制品的形狀有局限性，不太適宜于帶凹曲線表面（雙負曲率曲線）部件的制造。到目前為止，纏繞制品多為圓柱體、球體及某些正曲率回轉體，如管、罐、橢圓運輸罐等。對于非回轉體或負曲率回轉體制品的纏繞規律及纏繞設備比較復雜，尚處于研究階段。
2．纏繞成型工藝的分類
纖維纏繞成型工藝按其工藝特點，通常分為三種：
（1）干法纏繞成型工藝 將連續的玻璃纖維粗紗浸漬樹脂后，在一定的溫度下烘干一定時間，除去溶劑，并使樹脂膠液從A階段轉到B階段，然后絡紗制成紗錠，纏繞時將預浸紗帶按給定的纏繞規律直接排布于芯模上的成型方法，稱為干法纏繞成型工藝。
采用該法制成的制品質量比較穩定，纏繞速度可以提高（可達100～200m/min），工藝過程易控制，設備比較清潔，可以改善勞動衛生條件。這種工藝方法容易實現機械化、自動化。該工藝要求所使用的固化劑在紗帶烘干時不應升華或揮發，特別是采用酸酐及DDS類等高溫固化的樹脂基體系統，常常易出現制品內層貧膠、外層富膠，有的表面有較多甚至較大的氣泡，表面不光滑。并且由于紗片纏繞時每束已浸漬樹脂膠的纖維束被張緊得猶如一條連續勻稱的薄片需要預浸、烘干和絡紗，因此，纏繞設備復雜，投資較大。
（2）濕法纏繞成型工藝 將連續玻璃纖維粗紗或玻璃布帶浸漬樹脂膠后，直接纏繞到芯模或內襯上而成型增強塑料制品，然后再經固化的成型方法稱為濕法纏繞成型工藝。
濕法纏繞工藝設備比較簡單，對原材料要求不嚴，便于可選用不同材料，因紗帶浸膠后馬上纏繞，對紗帶的質量不易控制和檢驗，同時膠液中尚存大量的溶劑，固化時易產生氣泡，纏繞過程中纖維的張力也不易控制。纏繞過程中的每個環節，如：浸膠輥、張力控制器、導絲頭等，經常需要人進行維護，不斷涮洗，使之保持良好的工作狀態。萬一某一環節發生纖維纏結，勢必影響整個纏繞工藝及產品質量，有時會造成浪費。
（3）半干法纏繞成型工藝 這種工藝與濕法相比增加了烘干工序，與干法相比，縮短了烘干時間，降低了膠紗烘干程度，可在室溫下進行纏繞。這種成型工藝既除去了溶劑、提高了纏繞速度，又減少了設備，提高了制品質量。
二、纏繞成型工藝的現狀與發展
目前，纏繞制品在軍、民兩方面都有應用。軍用產品的特點是高性能及精確的纏繞結構。民用主要產品有貯罐、管材和壓力容器，尤其是現場纏繞技術的運用，解決了從前對纖維纏繞大型貯罐尺寸受限制的問題，大大拓寬了纏繞制品的使用范圍，而夾砂纖維纏繞管線的投產則開辟了玻璃鋼管在供水系統中的應用。
纖維纏繞可通過增強材料、基材及工藝結構的優選使制品性能達到最佳，是較為先進的玻璃鋼成型工藝，但其目前仍有許多問題有待進一步研究和解決：
（1）在結構設計方面，纏繞工藝和結構設計的結合仍不夠緊密，應進一步加強，通過結構設計所確定的合理的產品結構形式和設計參數來最后確定合理的工藝制度，以提高產品質量、生產效率和技術經濟指標。
（2）在原材料方面，對材料性能的研究仍有待深入，如增強材料的強度，樹脂的延伸率、耐高溫、耐腐蝕性能及工藝性等。
（3）對自動化纏繞設備的研制還有待提高，以確保生產工藝過程的最大穩定性及制品的可靠性和耐久性，提高勞動生產率。
（4）由于原材料和工藝過程的變化對產品性能影響很大，因此還要對從原材料到產品的整個工藝中的各個環節進行檢驗和管理，建立健全和嚴格的質量檢驗和管理制度。
第二節 纏繞成型工藝原理
對纏繞成型工藝原理的分析，主要是研究纏繞規律，即導絲頭與芯模之間相對運動的規律，以滿足纖維均勻、穩定和規律地纏繞到芯模上。通過對纏繞規律的研究，可以找出制品的結構尺寸與線型以及導絲頭與芯模相對運動之間的定量關系，從而確定具體產品的最佳纏繞工藝制度。
一、纏繞規律分類
無論何種形式的纏繞，都歸結到三類中：環向纏繞、平面纏繞和螺旋纏繞。
（1）環向纏繞。環向纏繞是沿容器圓周方向進行的纏繞。纏繞時芯模繞自己軸線作勻速運動，導絲頭在平行于芯模軸線方向的筒身區間運動。芯模每轉一周，導絲頭移動距離為一個紗片寬。如此循環下去，直至紗片均勻布滿芯模圓筒段表面為止，如下圖所示：
環向纏繞的特點是纏繞只能在筒身段進行，不能纏到封頭上去。鄰近紗片間相接而不重疊，纖維的纏繞角通常在85°～90°之間。為使紗片能一片挨一片地布滿芯模表面，就必須保證芯模與導絲頭的平移，保證兩個運動的相互協調。
（2）平面纏繞。平面纏繞時，導絲頭在固定平面內作勻速圓周運動，芯模繞自己軸線慢速旋轉。導絲頭每轉一周，芯模轉過一個微小角度，反映到芯模表面上是一個紗片寬度。紗片與芯?？v軸成0°～25°的交角，并與兩端極孔相切，依次連續纏繞到芯模上去。紗片排布彼此不發生纖維交叉，纖維纏繞軌跡是一條單圓平面封閉曲線。
平面纏繞的速比是指單位時間內芯模轉數與導絲頭旋轉的轉數比，紗片與縱軸的交角稱為纏繞角（α），如下圖所示：
在螺旋纏繞中，纖維纏繞不僅在筒身段進行，而且在封頭上也進行。其纏繞過程為：纖維從容器一端的極孔圓周上某一點出發，沿著封頭曲面上與極孔圓相切的曲線繞過封頭，并按螺旋線軌跡繞過圓筒段，進入另一端封頭，然后再返回到圓筒段，最后繞回到開始纏繞的封頭，如此循環下去，直至芯模表面均勻布滿纖維為止。由此可見，螺旋纏繞的軌跡是由圓筒段的螺旋線和封頭上與極孔相切的空間曲線所組成，即在纏繞過程中，紗片若以右旋螺紋纏到芯模上，返回時，則以左旋螺紋纏到芯模上。
螺旋纏繞的特點是每束纖維都對應極孔圓周上的一個切點；相同方向鄰近紗片之間相接而不相交，不同方向的纖維則相交。這樣，當纖維均勻纏滿芯模表面時，就構成了雙層纖維層。
二、螺旋纏繞規律分析
目前，對于纏繞規律的研究主要采用兩種分析方法：標準線法和切點法。標準線法的基本點就是通過容器表面的某一特征線——“標準線”來研究制品的結構尺寸與導絲頭、芯模相對運動規律。這種方法直觀性強易學懂，但分析演算過程較為復雜，精確性也不太高。切點法是研究纏繞線型在極孔上對應切點的分布規律研究纖維纏繞芯模轉角與線型、速比之間的關系。該方法的理論性較強數學推導比較嚴密。這兩種分析方法的出發點雖不相同，但并無本質區別，下面就用這兩種方法分析螺旋纏繞規律。
1. 名詞解釋
（1）標準線。螺旋纏繞時芯模繞其軸線轉動，導絲頭平行芯模的軸線作往復運動，由導絲頭引出的纖維從芯模上某點開始，經過幾次往復運動后，纖維又繞回到原始點，這樣在芯模上完成了第一次鋪紗，稱為標準線。
標準線的排列形式不同，其線型不同，纏繞規律也不同，因此，標準線是反映纏繞規律的基本線型。下圖為n＝4，k＝1時螺旋纏繞標準線展開圖。
由圖可知，纖維從A點開始纏繞，其走向是A→B→極孔Ⅱ→C→D（與A重合）→極孔Ⅰ→E→C→極孔Ⅱ→B→E→極孔Ⅱ→回到起始點A，這條布線我們叫做標準線。螺旋纏繞始終是沿某一標準線進行，區別僅在于每纏繞完一個標準線后，纖維應錯過一個紗片寬度，按此進行下去，直至芯模表面布滿纖維為止，此時，稱為一個交叉纏繞循環，而顯示在芯模上，則是兩層交叉纖維。
（2）交叉點。在標準線上互不平行的纏繞纖維的交點稱為交叉點。同一結構尺寸的容器，采用不同纏繞規律時，其交叉點數目和位置也不相同。圖中A、B、C、D、（A）、E各點即為交叉點。
（3）交帶。螺旋纏繞走過一個循環，由交叉點組成的跡線叫做交帶。見圖中A、E、D及B、C的連線即為交帶。它是一條垂直于軸線的截圓線。而在筒身兩端，距筒身與封頭交線某距離處，各存在一條重合于交帶的截面圓線，我們稱這個截面圓線為基準線。
（4）常用符號
Lc——容器內襯的筒身長度；
D——內襯直徑；
Rx——封頭處極孔半徑（封頭曲線對x軸坐標值）；
Ry——對應于值Rx值的y軸坐標值；
α——纏繞角，它表示纖維在芯模上的走向與芯軸軸線的夾角；
β——標準線在封頭部的包角。它表示纖維自進入封頭到繞出封頭時，芯模所轉過的角度；
γ——標準線在筒身段的進角。它纖維自筒身一端繞至另一端時，芯模轉過的角度；
n——人為把圓筒體圓周等分數目；
Li——筒身兩端基準線間的距離；
di——基準線至筒身和封頭交界線間的距離；
J——平面纏繞循環數；
K——縱向纖維利用系數（K＝0.7～0.8）；
f——每束纖維的平均強度，79.8N/束；
Nθ，Nf——環向和平面纏繞紗片的纖維束數（束/條）；
m，M——環向纏繞時紗片密度，條/cm；
P——容器內部壓力，710-1MPa；
R——容器半徑。
計算公式：
2. 用標準線法分析螺旋纏繞規律
任何線型的纏繞工藝，都要求芯模與導絲頭作不同規律的相對運動，所以對纏繞規律的分析，就是要找出產品結構尺寸與纏繞參數，比如纏繞角、速比等之間的函數關系。下面以受內壓圓筒形容器為例進行分析。
這些參數，同時還與容器尺寸、纏繞角α及基準線至筒身和封頭交界線間的距離di有直接關系，只有全面考慮研究，才能選到恰當的n、K值，才能使選定的纏繞規律與容器相適應，避免纏繞過程中纖維打滑、偏斜等異常情形的發生。
3. 用切點法分析螺旋纏繞規律
前面我們已經介紹，螺旋纏繞是一種連續的纖維纏繞過程，纏繞纖維的軌跡是由筒身部分的螺旋線和封頭部分與極孔相切的空間曲線組成。
螺旋纏繞的線型與切點的位置和數量有關，也就是說，與纖維在封頭極孔圓周上切點位置有關。因此，對于纖維在芯模表面上分別規律的研究，可以通過研究切點在極孔圓周上的分布及分布規律解決。這就是用切點法描述螺旋纏繞規律的基本思想。
A. 線型
所謂線型，就是連續纖維纏繞在芯模表面上的排布型式。用切點法描述螺旋纏繞的線型時，主要是使線型與切點數和分布規律聯系起來進行研究。
（1）纖維在芯模表面均勻布滿的條件
（?。┮粋€完整循環的概念。在芯模上聯系纏繞的纖維，由導絲頭引入從芯模上某點開始，導絲頭經過若干次往返運動后，又纏回到原來的起始點上，這樣的一次布線稱為標準線。完成一個標準線纏繞或者說完成與初始切點重合的纏繞，稱為一個完整循環。由此可以看出，要使纖維均勻纏滿芯模表面，則需要若干條由連續纏繞纖維形成的標準線。換以言之，需要進行若干個完整循環纏繞才能實現。標準線的排布型式，即纏繞花紋特征包括切點、交叉點、交帶及其分布規律。它反映了全部纏繞的花紋特征。因此，標準線是反映纏繞規律的基本線型。
（ⅱ）一個完整循環纏繞的切點數及分布規律
a.切點的時序相鄰和位置相鄰的概念。時序相鄰：在極孔圓周上按時間順序相繼出現的兩個切點。它們的相互位置只有兩種情況。一是兩切點之間密排而不再加入其他切點，稱這兩個切點為位置相鄰；二是兩切點之間還要加入其他切點，稱這兩切點位置不相鄰。但它們均表明的是切點位置及其出現的順序。
b.單切點與多切點。完成一個完整循環纏繞有兩種情況：第一種情況與起始切點位置相鄰的切點，時序上亦相鄰，因此，在出現與起始切點位置相鄰的切點之前，極孔圓周上只有一個切點，所以稱為單切點。第二種情況，與起始切點位置相鄰的點在時序上不相鄰。也就是說，在出現與起始點位置相鄰的切點以前，極孔圓周上已有兩個以上切點，這種情況稱之為多切點（切點數n=2、3、4……）。
由于芯模勻速轉動，導絲頭么每次往返時間又相同，所以在極孔圓周上的幾個切點等分圓周。單切點與兩切點的排布順序如圖7－7。
由此可以看出，不同的線型其切點數及各切點的排列順序不同。
（ⅲ）纖維在芯模表面均勻布滿的條件。由于芯模上的每一束紗片，都對應極孔圓周上的一個切點。因此，只要滿足了下列條件，就可實現在經過若干完整循環纏繞后，紗片能一片換一片地均勻布滿整個芯模表面。
①完成一個完整循環地諸切點等分芯模轉過的角度，即諸切點均布在極孔圓周上。
②相鄰的兩切點所對應的紗片在筒身段錯開的距離等于一個紗片寬度，顯然，由于條件①，其他陸續纏繞經過對應切點的紗片，在筒身上錯開的距離也等于一個紗片寬度。
于是，對于纖維纏繞均勻布滿芯模表面的排布規律，就可以通過對一個完整循環纏繞纖維排布規律的研究來解決。而完成一個完整循環纏繞規律的線型，又可以通過諸切點在極孔圓周上的分布規律來分析。
下面我們找出能夠滿足以上這兩個條件的芯模與導絲頭的運動關系。
（2）纖維纏繞芯模轉角即纏繞中心角與線型的關系。一個完整循環纏繞，即出現與起始切點位置相鄰的切點時，芯模轉角用θ表示。
導絲頭往返一次，即出現起始切點時序相鄰的切點時芯模轉角用θn表示。
導絲頭走一個單線程，即單程線纏繞，芯模轉角用θt表示。則
（ⅱ）二切點線型。二切點線型也屬于多切點線型，所謂多切點線型是指與起始切點相鄰的切點在時序上并不相鄰，即對應起始切點出現第一個位置相鄰的切點時，封頭極孔上已有幾個切點——初始切點。這種纏繞規律統稱為多切點線型。根據初始條件的不同，多切點線型又分為二切點、三切點……n切點線型。對于二切點線型來說它是指與起始切點位置相鄰的切點在時序上與起始切點位置相鄰的切點在時序上與起始切點間隔一個切點，即構成兩切點線型。二切點線型圖如圖7－10。
（ⅱ）二切點線型。二切點線型也屬于多切點線型，所謂多切點線型是指與起始切點相鄰的切點在時序上并不相鄰，即對應起始切點出現第一個位置相鄰的切點時，封頭極孔上已有幾個切點——初始切點。這種纏繞規律統稱為多切點線型。根據初始條件的不同，多切點線型又分為二切點、三切點……n切點線型。對于二切點線型來說它是指與起始切點位置相鄰的切點在時序上與起始切點位置相鄰的切點在時序上與起始切點間隔一個切點，即構成兩切點線型。二切點線型圖如圖7－10。
因為在兩切點的線型中，從起始切點1開始纏繞，芯模轉過360°/2時，纖維纏繞到切點2的位置，芯模再轉過360°/2時，纖維才纏到與切點1位置相鄰的切點3，并錯過了一個微量Δθ，所以Δθ是轉過了兩個360°/2后錯過的，因此每轉過一個360°/2時就錯過了Δθ/2。
（ⅲ）三切點線型。所謂三切點線型是指起始切點位置相鄰的切點，在時序上與起始切點間隔兩個切點、構成了三切點線型。三切點線型如圖7－11所示。
從圖中可以看出，與起始切點1位置相鄰的切點4，在時序上和切點1間隔兩個切點——即切點2和切點3；同樣道理，與切點2位置相鄰的切點5在時序上與切點2間隔兩個切點——切點3和切點4；與切點3位置相鄰的切點6，在時序上與切點3間隔兩個切點——切點4和切點5。所以三切點的線型在極孔圓周被3個初始切點等分。因此，纖維由起始切點纏到時序相鄰的切點2時，芯模至少要轉過360°/3，或者再加上360°的整數倍N，考慮到纖維的錯位還應引入微量Δθ1，所以三切點線型的纏繞規律為：
從圖中可以看出，與起始切點1位置相鄰的切點4，在時序上和切點1間隔兩個切點——即切點2和切點3；同樣道理，與切點2位置相鄰的切點5在時序上與切點2間隔兩個切點——切點3和切點4；與切點3位置相鄰的切點6，在時序上與切點3間隔兩個切點——切點4和切點5。所以三切點的線型在極孔圓周被3個初始切點等分。因此，纖維由起始切點纏到時序相鄰的切點2時，芯模至少要轉過360°/3，或者再加上360°的整數倍N，考慮到纖維的錯位還應引入微量Δθ1，所以三切點線型的纏繞規律為：
式中θn表示在極孔圓周上由切點n開始，纏繞到時序相鄰的切點（n+1）時，芯模轉過的中心角。
纏繞用導絲頭每經過極孔一次，纖維在極孔上有一個切點，所用θn也表示，導絲頭每往返一次，芯模轉過的中心角。因此，上式是用“切點法”分析纏繞規律的基本數學表達式。但此方法也有不妥善之處。在前面的討論中，我們實際上假定初始切點出現的順序為依次出現，對它們的排列順序沒有分析。在實際纏繞工藝中，除了單切點線型和雙切點線型不存在初始切點排列外，三切點以上的線型還存在一個初始切點的排列順序問題。
公式中n表示線型的切點數，即極孔圓周上出現第一個與起始位置相鄰的切點前，所有時序相鄰切點數目。（n為1、2、3……）。N表示由初始切點n纏繞到切點（n+1）時，芯模轉過360°的整數倍，是包括零的正整數，即0、1、2……。
當n≥3時，即三切點以上的線型，在與初始切點位置相鄰切點出現之前，在極孔圓周上有3個以上的初始切點，這就存在一個初始切點先后的排列順序問題。
如前所述，三切點有兩種排列順序，四切點有2種排列順序，而五切點有4種排列順序。因此，三切點線型有：
圓周排列順序不同，或者說是導絲頭往返運動一次時，芯模必須轉過的中心角規律的不同。其中K值為正整數，K＝1、2、3……n-1。K值要求應使K/n為最簡真分數。
綜上所述，在一個完整循環中，切點數不同，則纖維排布順序和花紋特征（交叉點數、交帶、節點數等）不同，即線型不同，導絲頭往返一次芯模轉角不同；如果在一個完整循環中，切點數相同而切點排布順序不同，則纖維排布特征（線型）也不同，導絲頭往返一次的芯模轉角也不同。也就是說導絲頭往返一次的芯模轉角與纏繞線型有著嚴格的對應關系。因此，我們導絲頭往返一次的芯模轉角
（2）轉速比與線型的關系。線型與速比均屬纏繞規律問題，線型是指纖維在芯模表面的排布規律，而轉速比是指芯模與導絲頭相對運動的規律。它們是完全不同的兩個概念。但是正如前面所述，不同的線型嚴格對應著不同的轉速比。所以我們定義線型在數值上等于轉速比，也就是說，速比的數值作為線型的“代號”，即：
（2）轉速比與線型的關系。線型與速比均屬纏繞規律問題，線型是指纖維在芯模表面的排布規律，而轉速比是指芯模與導絲頭相對運動的規律。它們是完全不同的兩個概念。但是正如前面所述，不同的線型嚴格對應著不同的轉速比。所以我們定義線型在數值上等于轉速比，也就是說，速比的數值作為線型的“代號”，即：
工藝上為避免纖維滑線，通常取負值。而實際計算時，i取至小數點4~6位。
C.線型設計
（1）穩定纏繞芯模轉角的計算。對于一個具體制件來說，在原始的幾何尺寸，容器工作壓力及極孔等給定的條件下，如何從纏繞工藝出發，實現產品的成型呢？這就要求纏繞過程中，如何選定芯模的轉角θn，因為它對應著固定的線型和轉速比。
我們已經知道，不同的n、N、K對應著不同的θn，也就是說滿足纖維有規律均勻布滿芯模表面兩條件的芯模轉角θn有若干個。但對于一個確定產品，并非所有的θn都合適。如果按表7-1中任選一個θn，并考慮到速比微調±Δθn進行纏繞，盡管也滿足了均勻布滿的兩個條件，但未必就能達到均勻布滿的目的。因為纖維在容器表面及封頭曲面上的位置不一定穩定，有可能出現纖維滑線的現象。從理論上講，封頭不滑線的必要條件就是使纖維位于封頭曲面上的測地線上，于是，便產生了纖維纏繞能有規律地均勻布滿芯模表面的第三個條件——纖維位置穩定的條件，這要求纏繞在芯模表面上的每束纖維都是其相應曲面的測地線。下面，討論有封頭的圓筒形容器的測地線的確定的問題。
在筒身段任意纏繞角的螺旋線都是測地線；在封頭處纏繞則要求
（ii）β的求解。對于封頭曲面測地線纏繞所對應的芯模轉角的計算比較復雜。并且目前纏繞軌跡是近似于測地線的平面曲線。所以我們通常采用平面假設法對封頭部分芯模轉角進行計算。
如圖7－15所示，過纖維在赤道圓的兩個交點（A、D）作一平面與極孔圓相切（切點為β），與封頭曲面相截的交線（平面曲線ABC）即為纖維纏繞軌跡。此平面稱為截平面，與筒體軸線夾角為α0，封頭纏繞芯模的轉角為
過D點作平面II平行平面BHC，與截平面的交線為DF。過D點作筒體的切平面I與截平面的交線為DE。平面I與II的交線為DG，過G點作平面與DG垂直，與平面I和II相交的交線分別為EG和FG，與截平面交線為EF。
由此可知，纏繞完標準線時，交叉點數與芯模轉數M有關。對于單切點線型，交叉點數等于芯模轉數減1，即xn-1=M-1。對于多切點線型，纏繞完標準線，導絲頭要往返多次、這樣相交的次數就與導絲頭往返次數（切點數）有關。例如，線型為3/2時，纏繞完標準線，芯模轉3圈，導絲頭往返2次，交叉點共有4個，即交叉點數等于芯模轉數減1的2倍，即xn-2=2（M-1），如圖7－17所示。當線型為4/3時，纏繞完標準線，芯模轉4圈，導絲頭往返3次，共有9個交叉點，即交叉點數等于芯模轉數減1的3倍，即xn-3=3（M-1），如圖7－18所示。其余以此類推，對于n切點線型，交叉點數等于芯模轉數減1乘切點數，xn=n（M-1）。
（ii）β的求解。對于封頭曲面測地線纏繞所對應的芯模轉角的計算比較復雜。并且目前纏繞軌跡是近似于測地線的平面曲線。所以我們通常采用平面假設法對封頭部分芯模轉角進行計算。
如圖7－15所示，過纖維在赤道圓的兩個交點（A、D）作一平面與極孔圓相切（切點為β），與封頭曲面相截的交線（平面曲線ABC）即為纖維纏繞軌跡。此平面稱為截平面，與筒體軸線夾角為α0，封頭纏繞芯模的轉角為
過D點作平面II平行平面BHC，與截平面的交線為DF。過D點作筒體的切平面I與截平面的交線為DE。平面I與II的交線為DG，過G點作平面與DG垂直，與平面I和II相交的交線分別為EG和FG，與截平面交線為EF。
由此可知，纏繞完標準線時，交叉點數與芯模轉數M有關。對于單切點線型，交叉點數等于芯模轉數減1，即xn-1=M-1。對于多切點線型，纏繞完標準線，導絲頭要往返多次、這樣相交的次數就與導絲頭往返次數（切點數）有關。例如，線型為3/2時，纏繞完標準線，芯模轉3圈，導絲頭往返2次，交叉點共有4個，即交叉點數等于芯模轉數減1的2倍，即xn-2=2（M-1），如圖7－17所示。當線型為4/3時，纏繞完標準線，芯模轉4圈，導絲頭往返3次，共有9個交叉點，即交叉點數等于芯模轉數減1的3倍，即xn-3=3（M-1），如圖7－18所示。其余以此類推，對于n切點線型，交叉點數等于芯模轉數減1乘切點數，xn=n（M-1）。
由于每股纖維都對應極孔圓周上一個切點，所以在交帶截圓上的交叉點數等于切點數，故交帶數為yn= M-1。
由此得出結論，無論什么樣的線型，交帶數均為線型中分子數（即纏繞完一個完整循環的芯模轉數）減1。交叉點數均為交帶數與切點數的乘積。
（ii）交叉點及交帶的分布規律 從纖維的連續性可知，每股纖維都對應極孔圓周上的一個切點。同時纏繞完標準線的切點等分極孔圓周。所以交帶截圓上的交叉點等分該截面，即在交帶截圓上兩相鄰交叉點間的芯模轉角為360°/n。
三、纏繞規律的設計
前面已經分別用標準線法、切點法逐一分析了纏繞規律。下面就實際生產中，如何選擇、設計進行討論。
1. 選擇纏繞規律的要求
（1）纏繞角α要求與測地線纏繞角相近，為更好的發揮玻璃纖維的強度，纏繞角α應近于55°。
（2）為避免極孔附近纖維的架空，影響頭部強度，所選纏繞規律在封頭極孔處的相交次數不宜過多。
（3）頭部包角β，應接近于180°為好，一般選用β=160°~180°之間，否則會使纖維在頭部引起打滑。
2. 選擇纏繞規律的步驟
（1）一般情況下，把筒身圓周分為4等分，即取n=4，若分別取K=1、2、3、4、5，則纏繞規律便有5種類型：
n=4，K=1；
n=4，K=2；
n=4，K=3；
n=4，K=4；
n=5，K=1；
3. 確定纏繞規律及其他
（1）經以上計算，將上述5種線型算出的相應纏繞參數列表。再按照纏繞規律的3個選擇原則，結合實際工作經驗進行分析比較，經篩選后，可以得到一個比較合理的纏繞規律，這就是此產品的真正纏繞線型。
（2）根據求出的速比i值，再考慮纏繞過程中必須的錯紗，為纏繞機的設計提供依據。
4. 舉例
要纏制一內壓容器，直徑D=770mm，筒身段長L=2930mm，封頭極孔直徑d=385mm，封頭高h=285mm，試選定纏繞線型和轉速比，并畫出標準線展開圖。設定紗片寬b=5mm。
設計思路如下：
首先計算出按照測地線軌跡纏繞纖維，導絲頭往返一次（即出現與起始切點時序相鄰切點）時的芯模轉角θn。按照這個速比纏繞時，可以保證纏繞到芯模表面的纖維不滑線（穩定）。但還沒有滿足有規律均勻布滿芯模表面的條件，而滿足這個條件的線型應為
按此式計算得到的線型表中的芯模轉角都可滿足均勻布滿的要求。但對某一具體產品來說，并不是線型表中的全部芯模轉角值都能滿足纖維位置穩定條件。怎樣解決這個矛盾呢？首先求出測地線軌跡的芯模轉角，然后再在線型表7－1中找一個與此值接近的值作為計算數據。然后調整容器的尺寸。用這個速比進行纏繞，既能滿足均勻布滿的條件，又能滿足纖維位置穩定的條件。
那么測地線纏繞角如何求得呢？我們知道，對筒身段來說，任何角度的螺旋線都是測地線，亦即都是穩定的（實際上不必考慮纖維在筒身纏繞的穩定問題）。矛盾集中在封頭曲面上，而封頭曲面上的測地線方程為
